Fachinformationen

Bayes’sche Inferenz wurde für die Schätzung der Wiederkehrwerte verwendet. Der Vorteil dieses Ansatzes ist die explizite Behandlung der Unsicherheiten.

Ein Ensemble von GEV Verteilungen wird geschätzt, die alle kompatibel mit den Beobachtungen sind. Dieses Ensemble besteht in der Praxis aus einer grossen Anzahl simulierten Verteilungen, z. B. ein tausend, die jede zu einem Wiederkehrwert führt.

Für eine gegebene Wiederkehrperiode erhalten wir also nicht einen einzigen Wiederkehrwert sondern eine Verteilung von Wiederkehrwerten. Zu jeder Wiederkehrperiode auf dem Frequenzdiagramm (d. h. für jeden Punkt auf der Abszisse) ist der dargestellte Wiederkehrwert (der entsprechende Punkt auf der blauen Kurve) der Median der Wiederkehrwerte aus allen GEV Verteilungen zu dieser Wiederkehrperiode.

Eine wichtige Konsequenz dieser Prozedur ist, dass die daraus entstandene blaue Kurve keine GEV Verteilung mehr ist. Nichtdestotrotz kann für eine gegebene Wiederkehrperiode (z. B. 50 Jahre) der Wert auf der blauen Linie (z. B. 80mm/Tag) als Wiederkehrwert interpretiert werden, d. h. als die Menge Niederschlag, die über 1000 Jahre nur etwa 20 Mal überschritten wird (bei gleichem Klima).

Mit dem Bayes’schen Ansatz können die Konfidenzintervalle intuitiv interpretiert werden: Die Wahrscheinlichkeit, dass sich der wahre Wert innerhalb des 95% Konfidenzintervalls (2.5% bis 97.5%) befindet, ist 95%.

Wenn wir die Extremwerttheorie auf jährliche Maxima anwenden, nehmen wir implizit an, dass die Vorgänge, die zu Niederschlag führen über ein ganzes Jahr die gleichen bleiben. Dies ist natürlich nicht immer der Fall: Niederschlagsprozesse hängen oft von der Jahreszeit ab. Somit gehen wir das Risiko ein, die Annahmen zu verletzen, die eine zuverlässige Schätzung voraussetzt.

Aus diesem Grunde werden die Extremwertanalysen für die einzelnen Saisons durchgeführt und anschliessend der Jahreswert abgeleitet.

Um die Aufmerksamkeit auf das Verhalten der seltensten Ereignisse zu legen, werden Wiederkehrperioden so umgewandelt, dass die Relation zu den Wiederkehrwerten als gerade Linie für eine Gumbel-Verteilung der Jahresmaxima angezeigt wird (siehe Bericht).

Das Frequenzdiagramm fasst das Extremalverhalten auf einen Blick zusammen. Eine Reihe von 1-Tages-Niederschlagsmengen (Y-Achse) wird gegen deren Überschreitungswahrscheinlichkeiten aufgetragen, die als Wiederkehrperioden (X-Achse) ausgedrückt werden.

Die Zeitreihe der Jahresmaxima (Abbildung links) informiert visuell über fehlende Daten oder über mögliche Trends und Zyklen. In diesem Fall, können die Schwankungen der Jahresmaxima durchaus zufällig entstanden sein. Das Histogramm (zweite Abbildung von links) zeigt die Häufigkeit, mit der die Jahresmaxima beobachtet wurden, und kann als empirische Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) aufgefasst werden.

Das Quantil-Quantil-Diagramm (zweite Abbildung von rechts) hilft bei der Entscheidung, ob die Qualität der Schätzung zuverlässig ist: Sollte das Modell für die verfügbaren Daten angemessen sein, so sollten die empirischen Quantile der Daten ungefähr mit den geschätzten Quantile übereinstimmen (je besser desto grösser die Stichprobe). In einem solchen Fall lägen die Punkte ungefähr auf der Diagonalen. Wären beispielsweise die oberen empirischen Quantile systematisch kleiner als die angepassten Quantile, würde dies darauf hinweisen, dass der „Schwanz“ der tatsächlichen Verteilung schneller abnehmen könnte als derjenige der angepassten Verteilung. An der Station Genève-Cointrin ist für den täglichen Niederschlag keine systematisch Unter- oder Überschätzung des Schwanzes erkennbar. Die Schwankungen der Punkte um die rote Linie könnte möglicherweise durch eine explizite Modellierung der Saisonabhängigkeit der Tages-Niederschlagsextrema reduziert werden.

Im Frequenzdiagramm (Abbildung rechts) ist für jedes Jahr des analysierten Zeitraums der maximale Wert als Punkt eingetragen, so genannte „plotting points“. Die Position dieses Punktes auf der Y-Achse entspricht der gemessenen Niederschlagssumme. Da die tatsächliche Wiederkehrperiode dieser Ereignisse jedoch nicht bekannt ist, wird die Position auf der X-Achse durch die Stichprobengrösse empirisch bestimmt. D. h. für eine Stichprobengrösse von 50 Jahren wird beispielsweise der höchsten Beobachtung eine Wiederkehrperiode von ungefähr 50 Jahren zugeordnet, der zweithöchsten eine Wiederkehrperiode von ungefähr 25 Jahren und so weiter. In anderen Worten wird nicht das lokale Verhalten der gesuchten Grösse (z. B. täglicher Niederschlag) an der jeweiligen Station dargestellt, sondern nur die Stichprobengrösse unabhängig von der geographischen Lage. Ein paar Schlussfolgerungen können jedoch durch den Vergleich der empirischen Schätzung (schwarze Punkte) mit der besten Schätzung gezogen werden (blaue Linie, Abbildung rechts): jede erhebliche oder systematische Abweichung zwischen der empirischen und der GEV-Schätzung weist, nach der Berücksichtigung von „Samplingfehlern“, auf eine Unzulänglichkeit des Modells hin.

In diesem Diagramm sind sowohl die X-Achse als auch die Y-Achse log-transformiert. Die Unterschiede bei den kleinen Intensitäten werden deshalb vergrössert, während Unterschiede bei den grossen Intensitäten kleiner erscheinen, als sie tatsächlich sind. Diese Umwandlung der Y-Achse hebt die Tatsache hervor, dass die Intensität von Niederschlag tendenziell mit zunehmender Dauer abnimmt. Da die Unsicherheiten ebenfalls auf der logarithmischen Skala dargestellt sind, kann diese Darstellung beim Vergleichen der Unsicherheiten irreführend sein, beispielsweise bei der Beurteilung der Symmetrie oder Asymmetrie der Konfidenzintervalle der Punktschätzung.

Die Hintergrundfarbe weist auf die verschiedenen für die Analyse verwendeten Beobachtungen hin. Die Statistiken der 1- bis 12-Stunden-Intensitäten basieren auf den Jahresmaxima fixer Intervallmessungen über die Dauer einer Stunde (hh:40 - hh+1:40). Die Aggregationen daraus basieren auf gleitenden Summen. Analog basieren die Statistiken der 1- bis 7-Tages-Intensitäten auf den Jahresmaxima täglicher Beobachtungen über ein festes Zeitintervall (5:40 - 5:40 UTC), aggregiert mit gleitenden Summen.

Zufallsabweichungen von der Punktschätzung (rote Linie, auf der linken Seite der Abbildung ) sind zu erwarten. Diese sollten jedoch kein Muster formen oder sich zu weit auf beiden Seiten der Diagonale ausbreiten. Da die Quantile bei kürzeren Niederschlagsdauern (per Konstruktion) höhere Werte aufweisen als die Quantile bei längeren Niederschlagsdauern, ist die Information bezüglich dieser Quantil-Quantil-Diagramme nicht so aussagekräftig wie für die Extremwertanalysen von einzelnen Niederschlagssummen. Insbesondere sind die Informationen bezüglich der Qualität der Schätzung der 3-Stunden- bis 12-Stunden-Intensitäten sowie der 3-Tages- bis 7-Tages-Intensitäten begrenzt: In diesem Beispiel besteht einen Hinweis darauf, dass die Zuverlässigkeit von höheren Wiederkehrwerten für 3- und 4-Stunden-Intensitäten fragwürdig ist. Insgesamt ist jedoch keine systematische Abweichung erkennbar.

Zusätzliche Informationen bezüglich der Qualität der Schätzung sowie eine Beurteilung der Zuverlässigkeit der Ergebnisse liefern die beiden rechten Diagramme der Abbildung. Wenn die durchgezogene über der gestrichelten Linie liegt, ist die Qualität der Schätzung für diese spezifische Niederschlagsdauer fragwürdig. Die AD-Statistik konzentriert sich auf die Qualität der Schätzung hoher Wiederkehrwerte. Wenn beim mittleren quadratischen Fehler (RMSE) ausschliesslich Zufallsabweichungen auftreten (d. h. wenn alle Werte unterhalb der gestrichelten blauen Linie liegen), aber die AD-Statistik oberhalb der gestrichelten roten Linie liegt, können die kleineren Wiederkehrwerte trotzdem verwendet werden, während die grösseren Wiederkehrwerte wahrscheinlich unzuverlässig sind.

Bei diesem Beispiel entspricht der RMSE für 6-Tages-Intensitäten dem kritischen Wert. Die AD-Statistik für 6-Tages-Intensitäten liegt oberhalb des kritischen Werts. Deshalb ist für diese Dauer eine sorgfältige Beurteilung des Vergleichs der Wiederkehrwert-Schätzungen mit den Beobachtungen erforderlich. Zudem sollten, falls verfügbar, die Extremwertanalysen der 6-Tages-Niederschlagssummen berücksichtigt werden.

Der Vergleich der empirischen Quantile mit den 2-Jahres- und 25-Jahres-Wiederkehrwert-Schätzungen kann Rückschlüsse auf die Qualität der Schätzung für den Bereich der bereits beobachteten Intensitäten ermöglichen. An der Station Lugano basiert das Intensitätsdiagramm auf 34 Jahren stündlicher Beobachtungen und 50 Jahren täglicher Beobachtungen. Da wir nur Jahresmaxima berücksichtigen, sollte der 2-Jahres-Wiederkehrwert erwartungsgemäss nahe dem Medianwert liegen, d. h. es ist zu erwarten, dass der 2-Jahres-Wiederkehrwert in der Hälfte aller Jahre überschritten wurde. Wir erwarten jedoch, dass der 25-Jahres-Wiederkehrwert während der gesamten Zeitspanne nur ein- oder zweimal überschritten wurde. Im Durchschnitt sollte das Ereignis deshalb nahezu 1,4 Mal pro Stunden- und Mehrstundendauern überschritten worden sein, für Tages- und Mehrtagesdauern nahezu 2 Mal pro Dauer. Für beide Wiederkehrperioden zeigt der Vergleich mit den Beobachtungen kein offensichtliches Fehlverhalten der Schätzung.